d'Alembert Lecture：半线性热方程爆破解的构造：爆破轮廓、爆破集合与几何效应

d'Alembert Lecture：半线性热方程爆破解的构造：爆破轮廓、爆破集合与几何效应 （7月21日、22日、23日、24日，14:00-16:00）

• 我们将主要介绍半线性热方程有限时间爆破解的构造与稳定性，并重点讨论当爆破轮廓、爆破集合或底空间几何发生变化时，经典爆破方法如何进行调整与推广。
• ∂t u = Δu + |u|ᵖ⁻¹u
• 我们首先回顾爆破问题中的动力系统方法。通过在预设爆破时间和爆破点附近引入自相似变量，将有限时间奇性形成问题转化为一个重标度演化方程的长时间动力学问题。在线性化近似爆破轮廓后，会出现一个与 Ornstein–Uhlenbeck 算子相关的线性算子，其 Hermite 模态可以将动力学分解为不稳定方向、中性方向和稳定方向。课程将说明如何结合近似轮廓、谱分解、缩小集、抛物型估计以及拓扑度论证，把一个无限维偏微分方程的构造问题约化为有限多个不稳定模态的控制问题。
• (d−1)/r · ∂ᵣu
• 第一个应用是构造沿固定球面爆破的径向对称解。与经典的单点爆破不同，这里的爆破集合是一个球面。在爆破球面附近，径向动力学在主阶上表现为一维半线性热方程，而径向 Laplace 算子中的附加项在爆破区域中可以视为低阶扰动。然而，该项在原点附近具有奇性，因此必须将空间划分为爆破区域和正则区域，并将局部爆破分析与原点附近的经典抛物型估计结合起来。
• 第二个应用研究退化的平坦型球面爆破。此时主导动力学不再由通常的二阶 Hermite 模控制，而是由更高阶的第四 Hermite 模控制。相应地，爆破尺度、近似轮廓以及误差方程的结构均发生变化。课程将重点解释为什么直接使用含有四次项的显式轮廓会与线性化方程的谱结构不匹配，以及如何通过引入修正多项式构造与第四 Hermite 模相容的近似轮廓。此外，退化爆破还要求更精细的梯度估计和全空间一致控制。
• ∂t u = Δg u + |u|ᵖ⁻¹u
• 最后，我们讨论紧黎曼流形上的半线性热方程。在预设爆破点附近引入正规坐标后，Laplace–Beltrami 算子可以写成欧氏 Laplace 算子与曲率相关扰动项之和。在自相似变量中，这些曲率项带有随时间衰减的系数，因此在主阶上不会改变经典的欧氏爆破轮廓。然而，由于流形是一个整体空间，局部构造还必须与爆破点之外的区域控制相结合。为此，需要将流形划分为爆破区、过渡区和正则区，分别使用谱分析、常微分方程比较以及经典抛物型估计完成控制。 我们将突出这三类构造背后的共同分析框架，同时比较它们各自引入的新困难，包括非孤立爆破集合、径向奇异系数、退化高阶轮廓、曲率扰动以及局部坐标与全局几何之间的拼接问题。